问题:
A . 若D有界,则F必能在D的某个顶点上达到极值
B . 若F在D中A、B点上都达到极值,则在AB线段上也都能达到极值
C . 若D有界,则该线性规划问题一定有一个或无穷多个最优解
D . 若D无界,则该线性规划问题没有最优解
● 参考解析
本题旨在从宏观上理解线性规划方法的原理与机制,特别是从二维、三维的直观理解推广到高维的理解。这种宏观、直观的理解对于深刻认识数学概念、方法是非常重要的,对于创新也会有重要的、奇特的启发作用。
很明显,有界区域内线性函数的值域肯定是有界的。从直观上可以理解,由于线性函数的平坦性,其极值一定会在边界上达到(许多教材上给出了严格证明)。直观的理解有助于形象地感悟某些理论研究的结论。由于单纯形区域的边界是逐片平直的,所以它对应的线性目标函数值域也会逐片平直的,人们可以想象,线性函数F会在D区域的顶点处达到极值。所以选项A是正确的。
由于单纯形区域是凸集,只要A、B两点在区域内,则线段AB全在该区域内。由于F(A)与F(B)在线性目标函数值域上,不难看出,线段AB中的任一点C对应的F(C)就会落在F(A)与F(B)的连线上。所以选项B也是正确的。
选项C可以从选项A与B导出。线性规划问题要么无解,要么只有唯一的最优解,要么会有无穷多个最优解。因为如果有两个最优解,则这两个解的连线段上所有的解都是最优解。所以选项C也是正确的。
选项D不正确。若区域D无界,则线性规划问题可能无解,也可能有解(唯一解或无穷多个解)。
例如,线性规划问题:MinZ=X+Ys.t.X≥0,Y≥0的可行解区域是无界的,但在X=0,Y=0时有唯一的最优解(极小值)Z=0。
又例如,线性规划问题:MaxZ=2Xs.t.X≤4,X≥0,Y≥0的可行解区域是无界的,但在X=4,Y≥0处有无穷多个最优解(极大值)Z=8。
又例如,线性规划问题:MaxZ=X+Ys.t.X≤4,≥0,Y≥0的可行解区域是无界的,不存在最优解。
在坚实的理论基础上,直观、形象、宏观地看问题不仅能深刻理解问题的实质,有时还能启发新的思路,创立新的问题求解方法。
例如,用单纯形方法求解线性规划问题的过程,实际上就是在单纯形区域D的边界上先选一个初始顶点再通过迭代计算,沿着D的边界逐个顶点行进,直到达到最优解的那个顶点为止。
在企业实际应用中,一般会有大量的变量,区域D的顶点也很多,这种方法的计算量是很大的。
在直观上看,从区域D的一个顶点出发,沿D的边界前进直到最优解顶点,一般都是绕弯的。人们会想到,应该有更捷径的路,而这条路可能是从区域D内穿过去的。从区域D的一个点出发,沿什么方向走会使线性函数值F增长最快(或下降最快)呢?显然,应该沿函数F的梯度方向(或负梯度方向)前进,直到区域D的边界,会有更好的效果。据此,我们认为,可以获得比单纯形法更快的迭代求解方法。当然,单有直观思维是不够的,还需要在这种思维的指导下,去寻求实际可行的求解方法。现在,也确实有人按这种思路获得了新的解法。
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